再导不就归零了吗！
而 sin(x)可以无穷阶求导，所以无论 n 有多大，都不可能完美伪装出 sin 函数。
除非…… n 为无穷大？
这就引出了下面的问题：这样的伪装可以到达何种程度？
首先，经过调整，可以使二者的起点一致；然后，可以调整使二者在该点处斜率一致；再然后，可以调整该点处的二阶导数一致；再然后，可以调整该点处的三阶导数一致；
……总之，我们总可以使该点处 n 阶导数一致。
而 n 可以无限递增下去，我们的“伪装“就可以无限逼近目标函数。
——埃勒里·泰勒·奎因看着图像的变化，他不禁把那个起点当成了运动的质点，斜率即质点的速度
……他忍不住做起了一个思想实验：没有其他外力，没有初速度的条件下，质点只能静止在原地，毫无自由可言。
给质点一个初速度，我们可以使质点单向匀速运动；若再给定一个加速度，我们可以使速度均匀变化，从而产生拐弯运动；若再给定加速度的变化率，我们使加速度均匀变化，速度拐弯变化，产生可转向拐弯运动；
……如果一开始就设定好质点的初速度，加速度，加加速度，加加加…加速度的话，正如用一只无形的手调控着它的命运，那么无论想让它何时拐，往何处拐，如何拐……就全都在初始条件的设计之中了！这一刻，他仿佛触摸到了力量，触摸到了真理，触摸到了前所未有的自由！他大吼一声：“泰勒展开！”
这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。
把求导数的方程，调转一下，就可以得到牛顿迭代。这样的一阶导数、二阶导数……，都可以无限带入进去。
牛顿迭代可以让不能直接得到解的方程，无限接近于解的值，以达到近似的效果。后来泰勒将其改造成泰勒级数来确定很多函数。
对于任意一段连续可求导的函数，都可以与x轴方向得到一个面积的值。在古代，没有人能对很多弧形的图像直接求面积的值的。但是积分就可以，因为牛顿将函数分成无数个斜率，与底边形成了无数个体型而已，对于无数的体型无穷相加，取无限的值，就可以准确计算出这段阴影包含的面积。
泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。
泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。
泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。
他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。
此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。
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