黎曼说：“那你怎么找呢？”
高斯说：“我找到了一种钟形函数，这个钟形函数可以通过改变参数来实现跟那些分布的合成。我们就可以那这种函数去做统计。或者说一个统计模型就可以用这个函数来表示了。”
黎曼说：“你找到这样的公式了？”
高斯说：“没错。”高斯把公式拿给了黎曼看，黎曼一看公式，也没有什么特别。仅仅是有个自然对数e，在此基础上有abc三个可以改变的参数。这种函数配出的图形就是一个像钟倒扣的一个图形。
高斯说：“别小看我找到的这个函数，在很多领域上都会有用的。很多地方都会用这样的钟形函数。”
高斯说的高斯函数最后变化成正态分布函数。函数的不定积分是误差函数。
在统计学与概率论中，高斯函数是正态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复杂总和的有限概率分布。
高斯函数是量子谐振子基态的波函数。
计算化学中所用的分子轨道是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合，量子化学中的基组。
在数学领域，高斯函数在埃尔米特多项式的定义中起着重要作用。
高斯函数与量子场论中的真空态相关。
在光学以及微波系统中有高斯波束的应用。
高斯函数在图像处理中用作预平滑核，尺度空间表示。
高斯过程（Gaussian Process， GP）是概率论和数理统计中随机过程（stochastic process）的一种，是一系列服从正态分布的随机变量（random variable）在一指数集（index set）内的组合。
高斯过程中任意随机变量的线性组合都服从正态分布，每个有限维分布都是联合正态分布，且其本身在连续指数集上的概率密度函数即是所有随机变量的高斯测度，因此被视为联合正态分布的无限维广义延伸。高斯过程由其数学期望和协方差函数完全决定，并继承了正态分布的诸多性质。
高斯过程的例子包括维纳过程、奥恩斯坦-乌伦贝克过程等。对高斯过程进行建模和预测是机器学习、信号处理等领域的重要内容，其中常见的模型包括高斯过程回归（Gaussian Process Regression， GPR）和高斯过程分类（Gaussian Process Classification， GPC）。高斯过程的命名来自德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）以纪念其提出正态分布概念。
高斯积分是在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。在误差函数的定义中它也出现。虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。高斯积分（Gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数的积分。它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。
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