施特勒尔对贝塞尔说：“怎么样？考虑的如何了。”
贝塞尔说：“感谢普鲁士国王对我的重用，我不胜惶恐。”
是特勒尔说：“我们推举你来当科尼斯堡天文台台长，这里面因素很复杂，希望你不是因为那个地方比较危险而躲避。虽然俄国沙皇盯着那里，但是那里风景秀美。”施特勒尔对贝塞尔都羡慕了。
贝塞尔说：“我想问，为什么会选我呢。很多人都把天文的工作干得不错，我比他们的优势在哪里？”
施特勒尔说：“因为你的数学很好，你对微分方程的造诣很高，周围人都跟不上了。你已经成为一个重要的数学家了。你要知道一个科学家对某一数学领域了解的深，那逼格是很高的。”
贝塞尔说：“是的，这个工作对我制作星表是很有帮助的，只是这个问题确实太偏数学一些了。我如果真的有幸当上台长，到是把杂活交给别人干了。”
施特勒尔说：“这个方程的解是什么样的？我很好奇。”说着，他王黑板上写出了x^2y``+xy`+(x^2-α^2)y=0方程。对施特勒尔来说，这个在开普勒研究三体问题是提出的东西。他也被这个问题绕的焦头烂额。
贝塞尔说：“我现在主要有以下的成果。”
贝塞尔把第一类贝塞尔函数给写了出来，里面包含的是阶乘和伽马函数这样的东西。
施特勒尔说：“我很悲伤，难道以后所以微分方程的解都要写出级数这种类型吗？虽然规范了，但是不容易看出来，即使计算一个东西，那感觉也特别麻烦，要考虑多种情况。”
贝塞尔说：“虽不得已，但是数学也免不了要讨论多种情况。”
贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：
在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导定律，热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；贝塞尔函数的实例：一个紧绷鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型。
在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成或凯泽窗（Kaiser window）以及波动声学中都要用到贝塞尔函数。
贝塞尔在天文学上有较多贡献，在天体测量方面，他重新订正《巴拉德雷星表》，加上岁差和章动以及光行差的改正，并把位置归算到1760年的春分点。经过修订的星表于1818年发表，其中还列有他求得的较精确的岁差常数、章动常数和光行差常数等数值。在此期间，他还编制出一份相当精确的大气折射表，建立了计算大气折射的对数公式，以修正其对天文观测的影响，在十九世纪得到广泛引用。