1945年。
塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克兰恩在研究拓扑学里的同调论，引进了范畴论。在同态（具有几何直观）转化成同调论（公理化方法）的过程中起了重要作用。不同的“拓扑”问题可以转换至通常较易解答的“代数”问题之上。
在拓扑空间上如基本群或基本群胚等基本的架构，可以表示成由群胚所组成的范畴之间的基本函子，而这个概念在代数及其应用之中是很普遍的。
桑德斯·麦克兰恩说：“对象与对象之间不是孤立的，而是具有许许多多的“联系”的。但是“联系”是一种空泛的词语，它既可以表示对象与对象之间所有联系的集合，也可以表示对象与对象之间所有联系之中的某一条联系。为了使得描述的对象不那么空泛，我们用专有名词“态射”来指代对象与对象之间所有联系中的某一条联系。”
塞缪尔·艾伦伯格说：“一堆对象，以及对象之间的所有态射所构成的一种代数结构，便称之为“范畴”。范畴可以看作集合的更高级产物，因为集合和范畴都含有许多的对象，但集合不强调态射，范畴强调态射。范畴本身也可以看作一个对象，所以范畴与范畴之间也会存在态射，范畴和态射又可以构成新的范畴。”
乌拉姆说：“1930年，波兰也有过类似想法，主要是Bourbaki总结了三种基本数学结构，范畴论将这三种数学结构归结为一种。对数学结构可以统一化描述。”
桑德斯·麦克兰恩说：“态射也可以看成一种对象，所以态射之间也会存在态射。而对象在某种程度上也可以看成一种态射，所以事实上，对象和态射其实是一种东西。这句话不理解没关系，已经超越了范畴论的内容。”
塞缪尔·艾伦伯格说：“一堆对象，以及对象之间的所有态射所构成的一种代数结构，便称之为“范畴”。范畴可以看作集合的更高级产物，因为集合和范畴都含有许多的对象，但集合不强调态射，范畴强调态射。范畴本身也可以看作一个对象，所以范畴与范畴之间也会存在态射，范畴和态射又可以构成新的范畴。”
阿诺德打断道：“那范畴与范畴之间有映射吗？”
塞缪尔·艾伦伯格说：“范畴与范畴之间的映射称之为“函子”。映射是一种特殊的态射，所以函子也是一种态射。我们可以利用范畴和函子构建一种新的范畴。”
阿诺德听完以后有些懵。