本小章还未完，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！在三十年代，扎里斯基把克鲁尔的广义赋值论应用到代数几何，特别是双有理变换上，他是从这方面来奠定代数几何的基础，并且作出了实质性的贡献。
扎里斯基和其他的数学家在这方面的工作，大大扩展了代数几何的领域：首先，由复数域到一般域；其次，由代数曲线、曲面推广到一般代数簇，定义是完全内蕴的，也就是抛掉装着代数簇的外围空间。
他还证明了下述扎里斯基主要定理：“如果双有理对应在正规定 p 外不是正则的，那么 p 的像的各个分支的维数大于等于一。”由此阐明了双有理对应的性质。
对于奇点解消问题，即射影空间中任意不可约代数簇都能够双有理地变换为射影空间内的不带奇点的代数簇，在特征为零及维数小于等于三时，他给出了证明。
一九四四年，他又证明了特征为〇的域上三维代数簇的奇点可以解消。
域 k 上的不可约代数簇 V，如果它的函数域上 k 上是纯绍越的，就称为一个有理簇。
扎里斯基给出了判别代数闭域上的完备光滑曲面 S 是有理的一个充分必要准则。
这个重要准则，现在称为卡斯泰尔诺沃-扎里斯基判别准则。
关于代数曲面，扎里斯基还严格地证明了卡斯泰尔诺沃的定理：设 L 为代数闭域 k 上两变量有理函数域 k(x，y)的子域且包含 k，如果 k(x， y)在 L 上为可分代数的，那么 L 是 k 上的二元有理函数域。
在代数曲面的理论中，寻求与给定的代数曲面双有理等价的非奇异代数曲面的问题，是这个领域中最基本的问题之一，扎里斯基在特征为〇的域上给出了基于赋值论的纯代数的证明。
关于代数曲面的分类，扎里斯基和其他数学家给出了完整的结果。
他还引进正规簇和正规化的概念，并应用于线性系、双有理变换及代数对应等理论中。
关于诺德环，他得出：若半局部整环 R 是一个域上的有限生成环的商环，则 R 是解析非分歧的，若 R 还是正规局部环，则 R 是解析正规的。
他还指出，即使以更一般的理想的幂引入拓扑，一切理想仍是闭集。
在关于局部一致性的研究中，扎里斯基导入了代数簇 V 上的拓扑，现在称为扎里斯基拓扑。在这个拓扑中 V 的闭子集就是 V 的代数子簇。
在一九四九至一九五一年间，他发展了在簇 V 上的全形态方程以及在簇 V 的代数子簇上这种方程的解析连续性的半球理论，这个理论使他能够给出一个新的、严密的对退化原理和恩里克斯连续定理的证明。一九五〇年他还发展了局部环论。
一九六四至一九七八年间，扎里斯基主要关心两个新理论的发展：在簇 V上的等奇异性理论和饱和性理论。
等奇异点簇。
从古典几何到现在，奇异的等效性只在代数曲线上有定义。因此，只能对 W 具有维数 r-1 而 V 具有维数 r 的情形下发展一个完全的关于等奇异性的理论。
扎里斯基和其他美国和外国数学家〔特别是法国数学家〕後来致力于发展一个具有任何维数的簇 V 和其子簇 W 的等奇异性的可能性的一般理论。
饱和性理论在某种意义上是等奇异性理论的特殊情况。
这个理论是已经在 W 上等奇异性的 V 建立一个在最小意义下的等奇异性的标准，即它是在 W 上的解析乘积。
扎里斯基关于饱和性的一般定理的证明为这个标准提供了依据。
扎里斯基对极小模型理论也作出了贡献。
他在古典代数几何的曲面理论方面的重要之一，是曲面的极小模型的存在定理〔一九五八年〕。
它给出了曲面的情况下代数-几何间的等价性。
这就是说，代数函数域一经给定，就存在非奇异曲面〔极小模型〕作为其对应的“好的模型”，而且射影直线如果不带有参数就是唯一正确的。
因此要进行曲面的分类，可考虑极小模型，这成了曲面分类理论的基础。
具有仿射结构的集合就是一个仿射空间。
从A的扎里斯基拓扑就可诱导得代数簇的扎里斯基拓扑。
扎里斯基对代数几何做出做出了重大贡献。
代数几何是研究关于高维空间中由若干个代数方程的公共零点所确定的点集，以及这些点集通过一定的构造方式导出的对象即代数簇。
从观点上说，它是多变量代数函数域的几何理论，也与从一般复流形来紧密地结合起来。
从方法上说，则和交换环论及同调代数有着密切的联系。
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