经过不懈的探索，他们证明了这样的数字在十进制的情况下确实是可能存在的，而且还会有无穷多个。更进一步，他们还证明了广义的易损素数同样是呈正比例的，就像陶哲轩的结论那样。之后，在索斯威克的博士论文中，他在2、9、11和31进制上获得了相同的结果。波拉克对这些发现印象深刻，他说：“对于这些数字，你可以做无限多可能的改变，然而不管你做哪一个改变，你得到的始终是一个合数。”
证明过程主要依靠两种工具，第一种被称为覆盖同余（covering systems），是由埃尔德什在1950年发明的，目的是解决一个数论中的问题。索斯威克说：“覆盖同余能够提供大量的分组，同时保证每个正整数至少在其中一个分组中。”例如，如果将所有正整数除以2，我们就能得到两个分组：一组偶数，一组奇数。这样即可“覆盖”所有的正整数，而在同一组内的数字则被认为彼此是“一致”的。当涉及的数字量十分大时，也就是面对寻找广义易损素数时，情况会显得更为复杂。我们需要更多的分组，大约个，在这些分组内的每一个素数都要保证，在增加了任意一位的数字，包括前面的零之后，能够变成合数。
但为了找到广义的易损素数，这些数中的任何一位数字减少后，也必须变成合数。这就是第二种工具，称为筛分法。筛分法最早可以追溯到古希腊，它提供了一种计算、估计或设置满足某些性质的整数个数限制的方法。菲拉塞塔和索斯威克使用了一个筛分参数，类似于陶哲轩在2011年采用的方法，也就是如果你在前面提到的组中取素数并减少其中的一个数字，会有呈正比的素数变成合数。换言之，广义的易损素数也是呈正比的。
然后，在一月份的一篇论文中，菲拉塞塔和他现在的研究生雅各布·朱伊拉特（Jacob Juillerat）提出了一个更加惊人的观点：存在任意长的连续素数序列，其中每个数字都是广义的易损素数。例如，有可能找到10个连续的广义易损素数。但这必须得检验大量的素数，菲拉塞塔说，“这一数量可能比可观测宇宙中的原子数还要多。”他把这比作连续10次中彩票，虽然概率特别小，但是依旧是有可能的。
小主，这个章节后面还有哦，请点击下一页继续阅读，后面更精彩！菲拉塞塔和朱伊拉特分两个阶段证明了他们的定理。首先，他们使用覆盖同余来证明存在一个包含无限多个素数的分组，分组内的所有数字都是易损素数。在第二步中，他们应用了丹尼尔·邵（Daniel Shiu）于2000年证明的一个定理：在所有的素数中，存在任意数量的连续素数属于上述的分组中。这也就能够进一步说明，这些连续的素数必然是广义的易损素数。
达特茅斯学院的卡尔·波默朗斯（Carl Pomerance）非常喜欢这些论文，他称赞菲拉塞塔是应用覆盖同余的大师。同时，他还指出，用十进制来表示一个数字可能会很方便，但这并不符合数字的本质。他认为，还有更基本的方法来表示数字，比如梅森素数的定义——素数p的表现形式为2p–1的素数。
在之前的研究基础上，最近的一些相关论文提出了更多值得探讨的问题。比如，每一种进制下是否都存在广义的易损素数？当在两个数字之间插入一个数字，而不是仅仅替换一个数字时，是否会有无穷多的素数变成合数？
此外，波默朗斯还提出了另一个有趣的问题：当数字接近于无穷大时，是否所有的素数都会变为（广义）易损素数？这是否也就意味着，非（广义）易损的素数个数是有限的？尽管他和菲拉塞塔都还没有想到办法来证明这个猜想。
波默朗斯说：“数学研究的魅力就是你事先不会知道你是否能够解决一个具有挑战性的问题，或者这个问题是否是有意义的。就像你不能提前决定：今天我要做一些有价值的事情，因为你不知道在数学研究中，什么事情才是有价值的，你只能去不断思考，不断尝试。”
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